Transformation binomiale

En mathématiques, dans le domaine de l'analyse combinatoire, une suite est la transformation binomiale d'une autre si elle calcule les différences d'ordre successif entre les termes consécutifs. Cette transformation est en rapport avec la transformation d'Euler, qui est le lien entre les séries génératrices ordinaires de deux suites qui sont la transformée binomiale l'une de l'autre. Un cas particulier de la transformation d'Euler est parfois utilisé pour accélérer la convergence de séries alternées (voir l'accélération des séries). Un autre cas particulier apparaît dans une application aux séries hypergéométriques. La transformée binomiale T d'une suite (a) est la suite (s) définie par où les désignent les coefficients binomiaux. La transformée binomiale s'avère être la suite des n-ièmes différences de la suite originelle, avec signe négatif pour les différences impaires : . . où Δ est l'opérateur de différence. Étant un opérateur linéaire, la transformation peut s'écrire comme où T est une matrice de dimension infinie de coefficients . La suite de départ peut être retrouvée par (Il existe de nombreuses démonstrations de cette propriété : voir par exemple le § « Formulation alternative » ci-dessous, ou l'article « Formule d'inversion de Pascal ».) Cette transformation est donc une involution, c'est-à-dire ou, en utilisant des notations indicielles : où δ est le symbole de Kronecker. Une autre définition de la transformation binomiale change le signe (), en considérant la suite des différences finies en 0 de la suite (vue comme une fonction sur ) : Avec ces notations, l'involutivité de la transformation ci-dessus équivaut à : On peut donc la déduire du fait que le polynôme d'interpolation de Lagrange des points est égal à sa série de Newton en : en particulier Cette transformée binomiale se trouve par la table des différences. Chaque ligne reprend les différences de la ligne précédente. La suite (t) = (0, 2, 12, 48, 160, 480, ...) = (n(n + 1)2) (ligne supérieure) est la transformée binomiale de la diagonale (a) = (0, 2, 8, 18, 32, 50, .