Lemme de Margulis

Le lemme de Margulis est un résultat de géométrie riemannienne, branche de la géométrie qui étudie les espaces courbes munis d'une métrique. Il est nommé en l'honneur du mathématicien russe Gregori Margulis qui en établit une version de référence en 1975, mais celle-ci s'inscrit dans une succession de nombreux résultats apparentés. Le lemme porte sur les sous-groupes du groupe des isométries d'une variété à courbure négative mais bornée ; il s'applique donc notamment au cadre de la géométrie hyperbolique. L'idée générale de l'énoncé est que, quand on limite l'écart entre les points et les images en dessous d'une certaine valeur (la constante de Margulis), les orbites d'un tel groupe ont nécessairement une structure simple. Dans une formulation plus géométrique, cela conduit à une décomposition entre les parties "mince" et "épaisse" de la variété, les parties dites minces ayant une structure simple. Un des énoncés classiques du lemme de Margulis est le suivant On peut en donner une reformulation équivalente : pour toute partie du groupe d'isométries qui vérifie les propriétés il existe tel que ; le groupe engendré par est discret ; on a : contient un sous-groupe nilpotent d'indice inférieur à . La recherche de la valeur optimale du figurant dans le théorème précédent est alors un problème intéressant ; on lui donne le nom de constante de Margulis. Plus précisément, on peut chercher une valeur optimale ne dépendant en fait que de la dimension et de la borne inférieure sur la courbure. Quitte à normaliser cette borne inférieure à la valeur -1, on obtient une quantité qui ne dépend que de la dimension et est appelée la constante de Margulis en dimension . Un autre type de problème intéressant est la recherche de la constante de Margulis de certains espaces particuliers, par exemple les espaces hyperboliques (de courbure constante -1). Ainsi : la constante de Margulis du plan hyperbolique vaut ; plus généralement la constante de Margulis de l'espace hyperbolique de dimension vérifie : pour des valeurs .