Théorème de Bertrand

vignette|Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) Le théorème de Bertrand est un résultat de mécanique, démontré en 1873 par le mathématicien Joseph Bertrand. Il établit que dans un mouvement à force centrale, seules les lois de force de Hooke (en –k OM, qui produit une ellipse où péricentre P et apocentre A forment un angle (POA) égal à 90°) et de Newton (en –k/ru, qui produit une ellipse où l'angle (POA) vaut 180°) produisent une trajectoire fermée (si la trajectoire est au préalable bornée), quelles que soient les conditions initiales. Lemme 1 : on montre que l'angle AOP pour une loi de force en 1/r, vaut, quand l'énergie E tend vers zéro par valeurs négatives, et donc que l'apocentre est très excentré, ; (il faut n < 3, pour ne pas avoir d'effondrement de la barrière centrifuge). Lemme 2 : on montre que U(r) doit être une loi puissance, en regardant le cas quasi circulaire (voir Mouvement à force centrale) : (le cas logarithmique n = 1 est exclu par examen direct). Conclusion : il faut 3 – n = 1 ; c'est le cas des orbites de Kepler. Lemme 3 : le cas de la force en r se résout par la dualité de la transmutation de la force : (3 + p)(3 – n) = 4 ; par conséquent, à n = 2 correspond p = 1 : c'est le cas de l'ellipse de Hooke Le premier à se rendre compte que le cas linéaire de Hooke (très simple) donnait la solution du problème de Kepler est Isaac Newton. Édouard Goursat, Tullio Levi-Civita, puis Karl Bohlin retrouvèrent ce théorème via la transformation conforme z ↦ z, qui transforme la trajectoire de Hooke en celle de Kepler, et par changement d'échelle de temps le mouvement de Hooke en mouvement de Kepler, mais évidemment la force est changée de –kr à –k/r : cela s'appelle la régularisation du "choc" à moment cinétique quasi-nul. Si l'on ne suppose pas le champ central, il y a plus de possibilités. On en connaît certaines. Pour deux degrés de liberté, cela arrive quand le système possède une équation de Hamilton-Jacobi séparable dans deux systèmes de coordonnées. Ces cas renvoient à la supersymétrie signalée dans l'article Puits de potentiel.