Équation de Poisson-Boltzmann

L'équation de Poisson-Boltzmann est une équation qui apparaît dans la théorie de Debye-Hückel des solutions ioniques. Cette équation permet de calculer le potentiel électrostatique créé par une charge électrique placée dans la solution en tenant compte des forces électrostatiques entre cette charge et les ions de la solution ainsi que de l'agitation thermique des ions. La relation entre le potentiel électrique et la densité de charge est donnée par l'équation de Poisson : où est la permittivité diélectrique du solvant ( étant la permittivité diélectrique du vide, et la permittivité relative du solvant : dans l'eau à température ambiante ). On rappelle que l'énergie électrostatique d'un ion placé dans un champ électrique est égale au produit de sa charge et du potentiel électrique : . À l'équilibre thermique, la concentration en ions de charge suit une statistique de Boltzmann : où : est la concentration en ions (exprimée en ) de charge loin de la surface chargée, là où le champ électrique est nul ; T est la température exprimée en kelvins ; est la constante de Boltzmann qui relie température et énergie thermique. En présence de n types d'ions de charge (), la densité de charge est donnée par : En insérant l'expression de la densité de charge dans l'équation de Poisson, on obtient l'équation de Poisson-Boltzmann qui ne porte plus que sur le potentiel électrique : Cette équation prend une forme plus simple dans le cas d'une solution d'électrolyte 1:1, c'est-à-dire que les ions positifs et négatifs en présence sont monovalents (par exemple : chlorure de sodium NaCl - sel de cuisine -, chlorure de potassium KCl). En effet seuls deux types d'ions sont présents : des ions positifs de charge +e et de concentration , ainsi que des ions négatifs de charge -e et de concentration .