Matrice centrosymétrique

En mathématiques, en particulier dans l'algèbre linéaire et la théorie des matrices, une matrice centrosymétrique est une matrice qui est symétrique autour de son centre. Plus précisément, un n × n matrice A = [ Ai,j ] est centrosymétrique lorsque ses entrées satisfont Ai,j = An−i+1,n−j+1 pour 1 ≤ i,j ≤ n. Si J désigne une matrice n × n avec 1 sur l'antidiagonale et 0 ailleurs (i.e., Ji,n+1-i = 1; Ji,j = 0 si j ≠ n+1-i), alors une matrice A est centrosymétrique si et seulement si AJ = JA. Tous les matrices 2 x 2 centrosymétriques ont la forme Tous les matrices 3 × 3 centrosymétriques ont la forme Les Matrices de Toeplitz symétriques sont centrosymétriques. Si A et B sont des matrices centrosymétriques sur une donnée corps K, puis sont donc A + B et cA pour tout c dans K. En outre, le produit de la matrice AB est centrosymétrique, puisque JAB = AJB = ABJ. Étant donné que la matrice identité est également centrosymétrique, il en résulte que l'ensemble de n × n matrices centrosymétriques sur K est une sous-algèbre de l'algèbre associative de toutes les n × n matrices. Si A est une matrice centrosymétrique avec une base propre dimensionnelle m, alors ses vecteurs propres m peuvent chacun être choisis de manière à satisfaire soit x = Jx soit x = -Jx. Si A est une matrice centrosymétrique avec des valeurs propres distinctes, alors les matrices qui commutent avec A doivent être centrosymétriques. La relation centrosymétrique AJ = JA se prête à une généralisation naturelle, où J est remplacée par une matrice involutive K (i.e., K2 = I). Le problème inverse de la relation de commutation AK = KA, d'identifier tous les involutive K qui commutent avec une matrice fixe A, a également été étudié. Symmetric matrices centrosymétriques sont parfois appelées . Lorsque le corps de base est le réels, il a été démontré que les matrices bisymétriques sont précisément ces matrices symétriques dont les valeurs propres sont identiques au signe après pré ou post multiplication par la matrice J.