Géométrie différentielle des surfacesEn mathématiques, la géométrie différentielle des surfaces est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l'espace usuel E3, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies éventuellement de structures supplémentaires, le plus souvent une métrique riemannienne. Outre les surfaces classiques de la géométrie euclidienne (sphères, cônes, cylindres, etc.
Courburevignette|Le déplacement d'une Dictyostelium discoideum dont la couleur du contour est fonction de la courbure. Échelle : 5 μm ; durée : 22 secondes. Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple : dans le plan euclidien, une ligne droite est un objet à une dimension de courbure nulle et un cercle un objet de courbure constante positive, valant 1/R (inverse du rayon) ; dans l'espace euclidien usuel à trois dimensions, un plan est un objet à deux dimensions de courbure nulle, et une sphère est un objet à deux dimensions de courbure constante positive.
Courbure moyenneEn mathématiques, on appelle courbure moyenne d'une surface la moyenne des courbures minimale et maximale. Elle est notée (ou encore Km, ou parfois H). C'est un nombre réel, dont le signe dépend du choix fait pour orienter la surface. S'il est relativement simple de définir le rayon de courbure d'une courbe plane, pour une surface les choses se compliquent. On définit alors un analogue comme suit : en un point, on définit un axe, le vecteur normal à la surface. On imagine ensuite un plan tournant sur cet axe.
Surface minimaleEn mathématiques et en physique, une surface minimale est une surface minimisant son aire tout en réalisant une contrainte : un ensemble de points, ou le bord de la surface, est d'avance déterminé. Si un cerceau est retiré d'une bassine d'eau savonneuse, un disque de liquide reste fixé. Un souffle dessus déforme légèrement le disque en une calotte sphérique. Si l'étude fait appel à la mécanique des fluides, le traitement mathématique utilise le langage des surfaces minimales.
Courbure scalaireEn géométrie riemannienne, la courbure scalaire (ou scalaire de Ricci) est un des outils de mesure de la courbure d'une variété riemannienne. Cet invariant riemannien est une fonction qui affecte à chaque point m de la variété un simple nombre réel noté R(m) ou s(m), portant une information sur la courbure intrinsèque de la variété en ce point. Ainsi, on peut décrire le comportement infinitésimal des boules et des sphères centrées en m à l'aide de la courbure scalaire.
Courbure principaleEn géométrie différentielle des surfaces, les deux courbures principales d'une surface sont les courbures de cette surface selon deux directions perpendiculaires appelées directions principales. On montre que ce sont les courbures minimale et maximale rencontrées en faisant tourner le plan de coupe. Les courbures principales sont les valeurs propres de l'endomorphisme de Weingarten. Elles caractérisent la géométrie locale des surfaces à l'ordre 2.
Courbure de Gaussvignette|De gauche à droite : une surface de courbure de Gauss négative (un hyperboloïde), une surface de courbure nulle (un cylindre), et une surface de courbure positive (une sphère). vignette|Certains points du tore sont de courbure positive (points elliptiques) et d'autres de courbure négative (points hyperboliques) La courbure de Gauss, parfois aussi appelée courbure totale, d'une surface paramétrée X en X(P) est le produit des courbures principales. De manière équivalente, la courbure de Gauss est le déterminant de l'endomorphisme de Weingarten.
Géométrie différentiellevignette|Exemple d'objets étudiés en géométrie différentielle. Un triangle dans une surface de type selle de cheval (un paraboloïde hyperbolique), ainsi que deux droites parallèles. En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés.
Tenseur de RicciDans le cadre de la relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Celle-ci est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci. Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes. Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale.
Géométrie riemanniennevignette|275px|L'étude de la forme de l'univers est une adaptation des idées et méthodes de la géométrie riemannienne La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit les concepts fondateurs de variété géométrique et de courbure. Il s'agit de surfaces ou d'objets de plus grande dimension sur lesquels existent des notions d'angle et de longueur, généralisant la géométrie traditionnelle qui se limitait à l'espace euclidien.
