Convergence des variables aléatoires: définitions et connexions

Cette séance de cours traite de la convergence des séquences de variables aléatoires, en introduisant trois notions clés: convergence quadratique, convergence des probabilités et convergence presque certaine. L'instructeur commence par définir la convergence pour les séquences de nombres réels, en soulignant la simplicité de ce concept par rapport aux variables aléatoires. La séance de cours passe ensuite aux complexités des variables aléatoires, expliquant qu'elles peuvent converger de différentes manières. La première notion, la convergence quadratique, est définie dans le contexte de l'espace L2, où la séquence converge si l'attente de la différence au carré se rapproche de zéro. Ensuite, la convergence en probabilité est introduite, où la probabilité d'écart par rapport à la limite diminue à zéro au fur et à mesure que la séquence progresse. Enfin, la convergence presque certaine est expliquée, soulignant qu’elle garantit la convergence pour presque tous les résultats. L'instructeur explore également les relations entre ces notions, illustrant comment la convergence quadratique implique la convergence des probabilités, tout en fournissant des exemples et des conditions dans lesquelles ces relations tiennent. La séance de cours se termine par un aperçu des discussions ultérieures sur les liens entre ces types de convergence.