Théorème de Ptolémée
thumb|Figure illustrant le théorème de Ptolémée. En géométrie euclidienne, le théorème de Ptolémée et sa réciproque énoncent l'équivalence entre la cocyclicité de 4 points et une relation algébrique faisant intervenir leurs distances. L'implication directe est attribuée à l'astronome et mathématicien grec Claude Ptolémée, qui s'en servit pour dresser la table des cordes, c'est-à-dire des sinus, dont il fit usage dans ses calculs liés à l'astronomie. Voici le texte grec du livre I chapitre 10 de l'Almageste, édition Heiberg p.36 lignes 9 à 17 : On peut l'étendre en une équivalence : Il peut être étendu à des points d'une droite, et être énoncé de façon plus générale comme suit : vignette|Pentagone régulier.|gauchevignette|. Les diagonales d'un pentagone régulier convexe de côté 1 ont pour longueur le nombre d'or. En effet, le quadrilatère indiqué dans la figure de gauche est inscriptible, donc . Un point appartient au cercle circonscrit d'un triangle équilatéral si et seulement si l'une des distances est égale à la somme des deux autres (figure de droite). En effet la condition de Ptolémée se simplifie par la longueur commune des côtés du triangle . Voir la formule des cordes consécutives. Le théorème de Ptolémée est une conséquence directe du cas d'égalité dans l'Inégalité de Ptolémée, dont la démonstration utilise le fait que quatre points , , et sont cocycliques (dans cet ordre) si et seulement si une inversion centrée en un de ces points envoie les trois autres sur trois points alignés (dans cet ordre). La démonstration qui suit est celle de Ptolémée. center Soit un quadrilatère inscriptible non croisé. Les angles et sont égaux, car ils interceptent le même arc (voir théorème de l'angle inscrit) ; de même . Construisons le point K tel que et . On a alors . Ainsi, les triangles et , ayant leurs angles égaux, sont semblables (figure du milieu), de même que et (figure de droite). On obtient les relations suivantes (voir « Triangles semblables ») : et d'où et en additionnant il vient et par construction .
