Voisinage (mathématiques)
En mathématiques, dans un espace topologique, un voisinage d'un point est une partie de l'espace qui contient un ouvert qui comprend ce point. C'est une notion centrale dans la description d'un espace topologique. Par opposition aux voisinages, les ensembles ouverts permettent de définir élégamment des propriétés globales comme la continuité en tout point. En revanche, pour les propriétés locales comme la continuité en un point donné ou la limite, la notion de voisinage (et le formalisme correspondant) est plus adaptée. En analyse réelle, l'utilisation des voisinages permet d'unifier le vocabulaire des limites finies et des limites infinies. Les voisinages dans un espace métrique permettent de généraliser la notion de limite à des espaces multidimensionnels. En analyse fonctionnelle, certaines des multiples notions de convergence pour une suite de fonctions nécessitent de dépasser le cadre des espaces métriques et de définir des voisinages sans recourir à une notion de distance. Soit E un espace topologique et a un point de E. On dit que est un voisinage de a s'il existe un ouvert U de E tel que et . Notons alors l'ensemble des voisinages de a. Nous pouvons alors remarquer que : Nous pouvons ainsi affirmer que les voisinages de a forment un filtre sur E pour l'inclusion. On peut de plus remarquer que (comme un ouvert est voisinage de chacun de ses points) : La section précédente précise les propriétés des voisinages dans un espace topologique défini par sa famille d'ouverts. Il est toutefois possible de procéder de façon inverse : on peut définir une topologie en définissant l'ensemble des voisinages de chaque point pourvu que ceux-ci vérifient les axiomes suivants : Soit E un ensemble. Nous dirons qu'une application forme un ensemble de voisinages si :
- ;
- ;
- ;
- ;
- . Il existe alors une (et une seule) topologie sur E telle que pour tout élément de E, soit l'ensemble des voisinages de pour cette topologie. Ces axiomes sont plus complexes que ceux qui régissent les ouverts.