Théorème d'Apéry

Le théorème d'Apéry, dû, en 1978, au mathématicien Roger Apéry, affirme que le nombre où ζ est la fonction zêta de Riemann, est irrationnel. Ce nombre est également surnommé la constante d'Apéry. Euler a démontré que si n est un entier positif, alors pour un certain rationnel p/q. Plus précisément, notant la somme de gauche ζ(2n) (voir l'article Fonction zêta), il a montré que où les Bn sont les nombres de Bernoulli (dont il est facile de montrer qu'ils sont rationnels). Une fois démontré que πn est toujours irrationnel, on en déduit que ζ(2n) est irrationnel (et même en fait transcendant) pour tout entier positif n. On ne connaît pas de telle expression utilisant π pour les valeurs de ζ(m) lorsque m est un entier positif impair ; il est d'ailleurs conjecturé que les quotients sont transcendants pour tout entier n ≥ 1. C'est pourquoi il n'avait pas pu être montré que les ζ(2n+1) étaient irrationnels, bien que l'on ait conjecturé qu'ils étaient eux aussi tous transcendants (une conjecture qui englobe les deux précédentes est que les nombres π, ζ(3), ζ(5), ζ(7), ... sont algébriquement indépendants sur Q). Cependant, en , Roger Apéry (à 62 ans) donna une conférence intitulée Sur l'irrationalité de ζ(3). Il esquissa alors des démonstrations de l'irrationalité de ζ(3), et aussi de ζ(2), par des méthodes n'utilisant pas la valeur π/6 de cette dernière constante. À cause de l'allure inattendue de ce résultat et du style blasé et approximatif de la présentation d'Apéry, beaucoup de mathématiciens assistant à cette conférence — en particulier les non-francophones — pensèrent que la démonstration était erronée. Pourtant, trois des spectateurs, Henri Cohen, Hendrik Lenstra et Alfred van der Poorten, estimèrent qu'elle pouvait être rendue rigoureuse. Deux mois plus tard, ils y parvinrent et, le , Henri Cohen donna un exposé détaillé de la démonstration d'Apéry ; immédiatement après cet exposé, Apéry lui-même monta sur l'estrade expliquer les motivations heuristiques de sa démarche.