Ultralimite

En mathématiques, une ultralimite est une construction géométrique qui associe à une suite d'espaces métriques Xn un espace métrique qui est leur « limite ». Cette construction est une généralisation de la convergence au sens de Hausdorff, et utilise un ultrafiltre pour éviter d'avoir à considérer des sous-suites convergentes. Pour la limite inductive d'une suite d'ultraproduits, voir Ultraproduit. Ultrafiltre Rappelons qu'un ultrafiltre ω sur l'ensemble N des entiers naturels est une mesure finiment additive ω : 2 → {0, 1}, allant de l'ensemble des parties 2 (c'est-à-dire de l'ensemble de tous les sous-ensembles de N) vers l'ensemble {0, 1}, telle que ω(N) = 1. Un ultrafiltre ω sur N est non trivial si, pour tout sous-ensemble fini F ⊂ N, on a ω(F) = 0. Filtre (mathématiques) Soit ω un ultrafiltre non-trivial sur . Si est une suite de points d'un espace métrique (X,d) et si x ∈ X, on dit que la suite est ω-convergente vers le point x, appelé la ω -limite de xn, et noté , si pour tout on a : Les propriétés suivantes sont faciles à démontrer : si une suite est ω-convergente, sa ω-limite est unique. si au sens usuel, . (pour que cette propriété soit vraie, il est crucial que l'ultrafiltre soit non-trivial.) Une caractérisation importante des espaces compacts est que toute suite est ω-convergente (ce résultat est vrai en fait même pour des espaces topologiques quelconques, en généralisant la définition) ; comme on l'a dit, la ω-limite est d'ailleurs nécessairement unique. En particulier, toute suite bornée de nombres réels admet une ω-limite, puisque tout intervalle fermé de est compact. Soit ω un ultrafiltre (non trivial) sur . Soit (Xn,dn) une suite d'espaces métriques pointés par des points de base pn∈Xn. On dira qu'une suite , où xn∈Xn, est admissible si la suite des nombres réels (dn(xn,pn))n est bornée, c'est-à-dire s'il existe un réel positif C tel que . Notons l'ensemble de toutes les suites admissibles. On voit facilement (à l'aide de l'inégalité triangulaire) que pour deux suites admissibles et , la suite (dn(xn,yn))n est bornée et donc qu'elle est ω-convergente vers .