Théorème de Moivre-Laplace

En théorie des probabilités, selon le théorème de Moivre-Laplace, si la variable suit une loi binomiale d'ordre et de paramètre , alors la variable converge en loi vers une loi normale centrée et réduite . Abraham de Moivre fut le premier à établir ce théorème en 1733 dans le cas particulier : ; et Laplace a pu le généraliser en 1812 pour toute valeur de comprise entre 0 et 1. Il s'agit d'un cas particulier du théorème central limite. La démonstration repose sur l'identification de la loi limite par l'étude des fonctions caractéristiques des variables binomiales. Autrement dit, si suit une loi binomiale de paramètres n et p et si est la fonction de répartition de alors, pour tout réel t, on a : ce qui signifie que, pour n assez grand, ce qui donne, en posant , l'approximation suivante pour la probabilité d'avoir au plus succès : Cette approximation est bonne en général pour . Pratiquement, il faut cependant faire attention au fait que les variables sont discrètes. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les extrémités des bâtons du diagramme de la loi binomiale sont proches de la courbe de densité de la loi normale . On peut obtenir une valeur approchée de par le calcul de la surface sous la courbe de densité comprise entre les droites d'abscisse et . On appelle cette procédure la « correction de continuité ». On considère la suite de variables ; on a alors ; D'après les tables, la valeur exacte pour . La formule d'approximation avec une loi donne le résultat : soit L'erreur d'approximation est faible. Pour , l'approximation usuelle fournit Sans correction de la continuité de l'approximation, on aurait : Cette dernière valeur est assez imprécise. Denis Lantier, Didier Trotoux, « La Loi des grands nombres : le théorème de De Moivre-Laplace », dans Contribution à une approche historique de l'enseignement des mathématiques : actes de la d'été interdisciplinaire sur l'histoire des mathématiques, Besançon, Presses universitaires de Franche-Comté/université de Franche-Comté, , 1995, 490 , . Convergence de varia