Concept
En analyse mathématique, la constante d'Apéry est la valeur en 3 de la fonction zêta de Riemann : Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1978 que ce nombre est irrationnel. On n'en connaît pas de forme fermée. Cette constante était connue avec en 1998, en 2003 et jusqu'à en 2015. Ce nombre apparaît dans diverses situations : dans différents problèmes de physique, dont les termes de deuxième et troisième ordre du rapport gyromagnétique de l'électron en électrodynamique quantique ; en théorie des graphes ; en compagnie de la fonction gamma lors de la résolution de certaines intégrales qui font appel aux fonctions exponentielles (par exemple dans la solution à deux dimensions du modèle de Debye) ; en théorie des nombres : pour tout entier k > 1, la probabilité pour que k entiers > 0 pris au hasard n'aient aucun facteur commun est égale à 1/ζ(k) (cf. § « Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens » de l'article « Fonction zêta de Riemann »), en particulier, la probabilité pour trois nombres d'être premiers entre eux est égale à l'inverse de la constante d'Apéry, 1/ζ(3) .... Théorème d'Apéry Le nombre ζ(3) est irrationnel. On ne sait pas s'il est transcendant. Par comparaison, pour tout entier k > 0, le nombre ζ(2k) est transcendant car commensurable à π (par exemple : ζ(2) = π/6). (avec , où les sont les nombres de Bernoulli). où λ est la fonction lambda de Dirichlet. où η est la fonction êta de Dirichlet. où H est le n-ième nombre harmonique. Les Cahiers de Ramanujan ont inspiré à Simon Plouffe les formules suivantes : Srivastava a collecté de nombreuses séries qui convergent vers ζ(3). La première est issue de la définition de la fonction ζ par une série et les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction : Elle ressemble à cette expression de la constante de Catalan K : Une autre formule similaire, issue du développement en série entière de la fonction complexe : De manière analogue, la constante de Catalan s'exprime par : et l'on connaît des représentations intégrales de la fonction gamma et ses dérivées, et de la fonction digamma.
