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Concept
Nombre harmonique
Résumé
En mathématiques, le n-ième nombre harmonique est la somme des inverses des n premiers entiers naturels non nuls :
Ce nombre rationnel est aussi égal à n fois l'inverse de la moyenne harmonique de ces entiers, ainsi qu'à la n-ième somme partielle de la série harmonique.
Les nombres harmoniques ont été étudiés pendant l'Antiquité et sont importants dans plusieurs domaines de la théorie des nombres. Ils apparaissent dans de nombreux problèmes d'analyse combinatoire.
Les numérateurs et dénominateurs de ces rationnels forment, à partir de n = 1, les suites d'entiers et de l'OEIS.
La sous-suite des numérateurs premiers est 3, 11, 137, 761, , ... () et les indices correspondants sont 2, 3, 5, 8, 9, ... ().
La suite des nombres harmoniques croît lentement.
La série harmonique diverge ; sa somme est +∞. On a le développement asymptotique suivant :
où est la constante d'Euler-Mascheroni ; plus généralement, la formule d'Euler-Maclaurin donne :
où les sont les nombres de Bernoulli.
où est un nombre de Stirling de première espèce.
Le dénominateur de H (pour n ≥ 1) est divisible par donc (en omettant H = 0) le seul nombre harmonique entier est H = 1. D'après le théorème de Kürschák, H est même la seule somme d'inverses d'entiers naturels consécutifs qui soit entière.
Le postulat de Bertrand permet de démontrer que les deux seuls autres nombres harmoniques décimaux sont H = 1,5 et H = 2,45.
Pour tout nombre premier p ≥ 5, le numérateur de H est divisible par p : voir « Théorème de Wolstenholme ».
Euler a donné la représentation intégrale suivante :
en utilisant l'identité
ce qui fournit un prolongement méromorphe . En fait,
où ψ est la fonction digamma.
On définit le n-ième nombre harmonique généralisé H d'exposant r comme la n-ième somme partielle de la série de Riemann d'exposant r :
Pour tout réel r > 1, cette suite converge vers la valeur en r de la fonction zêta de Riemann :
D'autres notations existent, comme H, prêtant à confusion avec les .
Les numérateurs des nombres harmoniques généralisés d'exposant 2 sont appelés les nombres de Wolstenholme.
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