Analyse fractionnaire

L'analyse fractionnaire est une branche de l'analyse mathématique qui étudie la possibilité de définir des puissances non entières des opérateurs de dérivation et d'intégration. Ces dérivées ou intégrations fractionnaires entrent dans le cadre plus général des opérateurs pseudo-différentiels. Par exemple, on peut se demander comment interpréter convenablement la racine carrée de l'opérateur de dérivation, c'est-à-dire une expression d'un certain opérateur qui, lorsqu'elle est appliquée deux fois à une fonction, aura le même effet que la dérivation. Plus généralement, on peut examiner le problème de définir pour des valeurs réelles de α, de telle sorte que lorsque α prend une valeur entière n, on récupère la dérivation n-ième usuelle pour n > 0 ou l'intégration itérée n fois pour n < 0. Le terme « fractionnaire » est utilisé de façon impropre : α n'est pas nécessairement un nombre rationnel, et l'on devrait donc plutôt parler de dérivation non entière. Cependant, le terme « analyse fractionnaire » est devenu traditionnel. Les dérivées fractionnaires sont utilisées par exemple dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'électromagnétisme, l'acoustique ou la thermique, en définissant des opérateurs pseudo-différentiels diffusifs, avec conditions de bord à « géométrie fractale ». Les fondations de ce sujet ont été jetées par Liouville dans un article de 1832. La dérivée fractionnaire d'ordre α d'une fonction en un point x est désormais souvent définie à partir de la transformée de Fourier ou de la transformée de Laplace. Un point important est que la dérivée fractionnaire d'une fonction en un point x est une propriété locale seulement lorsque l'ordre α est entier ; dans les autres cas, on ne peut plus dire que la dérivée fractionnaire d'une fonction f en x ne dépend que du graphe de f au voisinage de x, comme c'est le cas en ce qui concerne les ordres de dérivation entiers. Pour illustrer ceci, introduisons l'opérateur « de translation » et l'opérateur identité .