Pseudo-démonstration d'égalité entre nombres

Le terme pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses. Nous nous contenterons ici de regarder le cas d'égalités entre nombres, et nous détaillerons différents vices parmi les plus répandus qui conduisent à ces erreurs. Les méthodes proposées dans cet article se veulent en outre les méthodes les plus courantes, les plus instructives, et dans la mesure du possible, les plus directes. Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur suivante : Déduire de que . Elle s'effectue généralement en deux étapes : former via une identité remarquable un produit dans les deux membres d'une égalité dont l'un des facteurs est nul ; via une division par zéro obtenir un résultat absurde. À noter que suivant l'identité remarquable utilisée et la manière dont on s'y prend, on peut obtenir n'importe quelle égalité fausse. Le jeu consiste surtout à dissimuler la division par zéro dans des opérations très compliquées impliquant un grand nombre d'inconnues, ce qui rend difficile l'identification de la ligne fausse de la démonstration. Cette technique est notamment utilisée pour « démontrer » que 1 + 1 = 3 dans L'Encyclopédie du savoir relatif et absolu de Bernard Werber. Étape 1 : Soit a et b deux réels non nuls, on pose . On multiplie chaque membre par :. On soustrait :. On factorise chaque membre (dans le premier on utilise une identité remarquable) :. Étape 2 : On divise par :. Comme , on remplace par :, soit . On divise par :. L'erreur est commise au moment où l'on effectue la division par , car comme alors donc on divise par 0 ce qui est impossible. On commence avec la proposition suivante : On multiplie chaque membre par :. On développe :. On soustrait à chaque membre : . On factorise :. On peut simplifier et l'on obtient :. Il suffit d'ajouter pour finalement avoir :. Solution : Au moment de simplifier par , on fait : donc on divise par 2-1-1 par 0. Une autre pseudo-démonstration courante est de restreindre l'ensemble des solutions possibles d'une équation puis d'affirmer qu'un des éléments de l'ensemble est racine.