Identité de Lagrange

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, l'identité de Lagrange, découverte par Joseph Louis Lagrange, est une formule transformant un produit de sommes de carrés en une autre somme de carrés ; elle a d'importantes conséquences sur les propriétés du produit vectoriel. L'identité de Lagrange est : Elle s'applique à deux familles quelconques (a1, a2, ... , an) et (b1,b2, ... , bn) de nombres réels ou complexes, ou plus généralement à des éléments d'un anneau commutatif. C’est un cas particulier de l'identité de Binet-Cauchy. Dans le cas réel, on peut l'exprimer de façon plus compacte avec une notation vectorielle : où a et b sont des vecteurs de Rn. Cette expression peut s'étendre à Cn en remplaçant le produit scalaire par un produit hermitien et le carré d'un nombre complexe z par le carré de son module |z| : c'est-à-dire : Le membre de droite de l'égalité étant positif et ne s'annulant que lorsque a et b sont colinéaires, l'identité de Lagrange entraîne l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité dans le cas des espaces euclidiens (tels que Rn), et son analogue dans les espaces hermitiens (comme Cn). Les cas particuliers n = 2 et n = 3 ont des interprétations géométriques : pour n = 2, on obtient l'identité de Diophante (qui se généralise en celle de Brahmagupta) :ce qui correspond à la multiplicativité du module dans les complexes puisque, en posant et , cette formule équivaut à ; le cas n = 3 est discuté plus bas, dans la section consacrée au produit vectoriel. La preuve suivante correspond à un calcul algébrique direct, et est par conséquent valable dans tout anneau commutatif. Utilisant le produit extérieur, l'identité de Lagrange peut s'écrire : Elle donne donc la norme du produit extérieur de deux vecteurs en fonction de leur produit scalaire : En trois dimensions, l'identité de Lagrange dit que le carré de l'aire d'un parallélogramme est égal à la somme des carrés des aires de ses projections sur les trois plans de coordonnées.