En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, l'identité de Lagrange, découverte par Joseph Louis Lagrange, est une formule transformant un produit de sommes de carrés en une autre somme de carrés ; elle a d'importantes conséquences sur les propriétés du produit vectoriel.
L'identité de Lagrange est :
Elle s'applique à deux familles quelconques (a1, a2, ... , an) et (b1,b2, ... , bn) de nombres réels ou complexes, ou plus généralement à des éléments d'un anneau commutatif. C’est un cas particulier de l'identité de Binet-Cauchy.
Dans le cas réel, on peut l'exprimer de façon plus compacte avec une notation vectorielle :
où a et b sont des vecteurs de Rn. Cette expression peut s'étendre à Cn en remplaçant le produit scalaire par un produit hermitien et le carré d'un nombre complexe z par le carré de son module |z| :
c'est-à-dire :
Le membre de droite de l'égalité étant positif et ne s'annulant que lorsque a et b sont colinéaires, l'identité de Lagrange entraîne l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité dans le cas des espaces euclidiens (tels que Rn), et son analogue dans les espaces hermitiens (comme Cn).
Les cas particuliers n = 2 et n = 3 ont des interprétations géométriques :
pour n = 2, on obtient l'identité de Diophante (qui se généralise en celle de Brahmagupta) :ce qui correspond à la multiplicativité du module dans les complexes puisque, en posant et , cette formule équivaut à ;
le cas n = 3 est discuté plus bas, dans la section consacrée au produit vectoriel.
La preuve suivante correspond à un calcul algébrique direct, et est par conséquent valable dans tout anneau commutatif.
Utilisant le produit extérieur, l'identité de Lagrange peut s'écrire :
Elle donne donc la norme du produit extérieur de deux vecteurs en fonction de leur produit scalaire :
En trois dimensions, l'identité de Lagrange dit que le carré de l'aire d'un parallélogramme est égal à la somme des carrés des aires de ses projections sur les trois plans de coordonnées.