Équation biharmonique

NOTOC En analyse, l'équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles d'ordre 4, qui apparaît par exemple dans la théorie de l'élasticité. L'équation biharmonique pour une fonction φ s'écrit : où ∇ est l'opérateur nabla et Δ l'opérateur laplacien. L'opérateur Δ est aussi connu sous le nom d'opérateur biharmonique ou bilaplacien. Dans le cas tridimensionnel, dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation biharmonique s'écrit : Dans un espace euclidien de dimension n, la relation suivante est toujours vérifiée : avec r la distance euclidienne : ce qui, pour n = 3, est solution de l'équation biharmonique. Une fonction qui est solution de l'équation biharmonique est appelée fonction biharmonique. Toute fonction harmonique est biharmonique — la réciproque n'est pas vraie. L'opérateur biharmonique en coordonnées polaires s'écrit : La solution peut alors s'obtenir par séparation des variables ; c'est la . Pour certaines simulations numériques, on pourra utiliser la version discrète du bilaplacien. Fonction harmonique Opérateur bilaplacien Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. . S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. . J P Den Hartog, Advanced Strength of Materials, Courier Dover Publications, Jul 1, 1987. .