Théorie additive des nombres

La théorie additive des nombres est une branche de la théorie des nombres où sont étudiées des parties de l'ensemble des entiers, et leur comportement vis-à-vis de l'addition. Plus abstraitement, ce domaine inclut l'étude des groupes abéliens et des demi-groupes commutatifs, dont la loi interne est alors notée additivement. Il a des liens étroits avec la combinatoire arithmétique et la géométrie des nombres. Le principal objet d'étude est la somme d'ensembles : somme de deux parties A et B d'un groupe abélien et somme itérée d'une partie A avec elle-même. Les problèmes directs sur (typiquement) des entiers consistent à déterminer quels entiers peuvent être représentés comme sommes de h éléments d'un ensemble fixé A d'entiers naturels. Deux problèmes classiques de ce type sont la conjecture de Goldbach et le problème de Waring. Beaucoup de ces problèmes ont été étudiés à l'aide de la méthode du cercle de Hardy-Littlewood et de méthodes de cribles. L'ensemble A est appelé une base (resp. base asymtotique) d'ordre h si tout entier naturel (resp. tout entier suffisamment grand) est somme de h éléments de A. Beaucoup de recherches actuelles concernent cette notion. Par exemple, il a été démontré que pour tout h, parmi les bases asymptotiques d'ordre h, il en existe qui sont minimales (pour l'inclusion), mais il en existe aussi qui ne contiennent aucune minimale. Une autre question, soulevée dans la conjecture d'Erdős-Turán sur les bases additives, est l'étude du comportement asymptotique de la fonction qui à tout entier associe le nombre de ses décompositions comme somme de h éléments de A. Théorie des nombres#La théorie combinatoire des nombresCombinatoire arithmétique La combinatoire additive est un nom récent pour la branche de la théorie additive des nombres qui concerne les problèmes inverses, souvent sur des groupes plus généraux que celui des entiers. Il s'agit, à partir d'informations sur la somme d'ensembles A + B, de déduire des propriétés sur la structure des deux ensembles A et B.