Sommation d'Ewald

La sommation d'Ewald (ou parfois somme d'Ewald) est une méthode de calcul des énergies d'interaction de systèmes périodiques (et particulier des cristaux), et tout particulièrement les énergies électrostatiques. La sommation d'Ewald est un cas particulier de la formule sommatoire de Poisson, avec le remplacement de la sommation des énergies d'interaction dans l'espace réel par une sommation équivalente dans un espace de Fourier. L'avantage de cette approche est la convergence rapide de la sommation dans l'espace de Fourier comparée à son équivalent dans l'espace réel lorsque les interactions se font à longue distance. Les énergies électrostatiques comprenant à la fois des termes d'interactions de courtes et de longues portées, il est très intéressant de décomposer le potentiel d'interaction en termes de courte portée - dont la sommation se fait dans l'espace réel - et de longue portée - dont la sommation se fait dans l'espace de Fourier. La méthode fut développée par Paul Peter Ewald en 1921 (voir références) afin de déterminer l'énergie électrostatique (et, par là, la constante de Madelung) des cristaux ioniques. La sommation d'Ewald réécrit le potentiel d'interaction comme la somme de deux termes : où représente le terme de courte portée dont la sommation est rapide dans l'espace réel et le terme de longue portée dont la sommation est rapide dans l'espace de Fourier. La partie à longue portée doit être finie pour tous les arguments (en particulier pour ) mais peuvent avoir une forme mathématique adéquate quelconque, le plus généralement une distribution gaussienne. La méthode postule que la partie à courte portée peut être sommée facilement, ainsi, le problème est de traiter la sommation du terme à longue portée. En raison de l'utilisation d'une intégrale de Fourier, la méthode postule implicitement que le système étudié est infiniment périodique (postulat pertinent pour un cristal parfait - i.e. pour l'intérieur d'un cristal réel). L'unité de base reproduite par périodicité est appelée maille unitaire.