Formule de Jensen

La formule de Jensen (d'après le mathématicien Johan Jensen) est un résultat d'analyse complexe qui décrit le comportement d'une fonction analytique sur un cercle par rapport aux modules des zéros de cette fonction. Elle est d'une aide précieuse pour l'étude des fonctions entières. L'énoncé est le suivant : Soient une fonction analytique sur une région du plan complexe contenant le disque fermé de centre 0 et de rayon r et les zéros de dans , comptés avec leur multiplicité. Si est non nul, alors Ou de manière équivalente : Si désigne le nombre de zéros de module strictement inférieur à , alors Cette formule établit un lien entre les modules des zéros contenus dans un disque et les valeurs de sur le cercle , et peut être vue comme une généralisation des propriétés de valeurs moyennes des fonctions harmoniques. La formule de Jensen peut être généralisée aux fonctions méromorphes : c'est le théorème de Poisson-Jensen. On va tout d'abord faire la démonstration de cette formule lorsque n'a pas de zéros dans (grâce à une propriété d'harmonicité), et ensuite on se ramènera au premier cas en « éliminant » les zéros de . Supposons donc tout d'abord que n'a pas de zéros dans .Dans ce cas, elle n'en a pas non plus dans pour assez petit. Or est simplement connexe et ne s'y annule pas donc il existe une fonction holomorphe sur telle que . Alors , partie réelle d'une fonction holomorphe, est harmonique sur . En particulier elle est harmonique sur et continue sur . D'après le principe de la moyenne, on a alors :Ceci montre alors la première partie de la preuve. Supposons maintenant que a des zéros dans , on les énumère de la manière suivante : On pose alors Alors est holomorphe sur et ne s'annule pas sur . D'après la première partie de la preuve on a alors : Si on montre que , alors on aura fini la preuve. Or et si on a : donc ce qui termine la preuve. Théorème de d'Alembert-Gauss Le théorème fondamental de l'algèbre affirme que tout polynôme à coefficients complexes de degré admet racines comptées avec multiplicité.