Catégorie à involution

En mathématiques, une †-catégorie (catégorie dague, également appelée catégorie involutive ou catégorie à involution) est une catégorie dotée d'une certaine structure appelée dague ou involution. Le nom de catégorie dague a été inventée par Selinger. Une †-catégorie est une catégorie dotée d'un foncteur involutif qui correspond à l'identité sur les objets, où est la catégorie opposée (ie un foncteur contravariant tel que composé par lui-même, donne le foncteur trivial ). Plus précisément, cela signifie que ce foncteur associe à tout morphisme de son adjoint , de sorte que pour tous et , on ait : Notez que dans la définition précédente, le terme "adjoint" est utilisé de manière analogue à celui de l'algèbre linéaire, et non en le sens de la théorie des catégories. Certaines sources définissent une †-catégorie comme une †-catégorie, avec la propriété supplémentaire que sa collection de morphismes est partiellement ordonnée, et que l'ordre des morphismes est compatible avec la composition des morphismes, c'est-à-dire : implique pour les morphismes , , , dès que les composées ont un sens. La catégorie Rel des ensembles et des relations binaires possède une structure de †-catégorie : pour une relation donnée dans Rel, la relation est la relation inverse de . Dans cet exemple, un morphisme auto-adjoint est une relation symétrique. La catégorie Cob des cobordismes est une †-catégorie compacte. La catégorie Hilb des espaces de Hilbert possède également une structure de †-catégorie : étant donné une application linéaire continue , l'adjoint est juste son adjoint au sens usuel. Tout monoïde à involution est une †-catégorie avec un seul objet. Une catégorie discrète est trivialement une †-catégorie, où le foncteur † est le foncteur trivial. Un groupoïde (et donc a fortiori un groupe) a également une structure de †-catégorie, où l'adjoint d'un morphisme est défini comme son inverse. Dans ce cas, tous les morphismes sont unitaires.