Orbitographie

En astronautique, l'orbitographie désigne la détermination des éléments orbitaux d'un satellite artificiel. Deux problèmes célèbres d'orbitographie sont : le problème de Gauss qui consiste à déterminer l'orbite, puis le mouvement d'un corps, connaissant 3 positions successives, , et . C'est en retrouvant Cérès en 1801, à partir de données parcellaires recueillies en , que Gauss se fait connaître. Ce problème a donc été baptisé en son honneur. le problème de Lambert qui consiste à déterminer le mouvement d'un corps connaissant deux ensembles successifs de positions et dates, {,} et {,}. Il peut aujourd'hui être traité avec les vecteurs, inventés par Gibbs vers 1890. En désignant par le point d'où sont faites les observations, les 3 vecteurs , et définissent le plan de la trajectoire. Leur surabondance permet d'affiner cette définition par la méthode des moindres carrés. On peut alors définir le vecteur unitaire perpendiculaire à ce plan, . Soit à trouver la direction du périgée, vecteur unitaire ; la direction orthogonale = complète le trièdre. Le vecteur de Gauss-Gibbs, , défini par trois vecteurs de position, , pointe vers la direction (semi-petit axe) et peut donc s'écrire . Soient la demi-ellipse et sur elle, le périgée, le point de l'ellipse tel que , le point du petit axe, et l'apogée : on peut pour vérification, calculer les 4 vecteurs de Gibbs correspondants à 3 parmi 4 de ces positions. Cela permet d'acquérir de "l'intuition". Le théorème de Gibbs permet donc d'accéder à l'angle =(,), ainsi que les deux autres. Soient 3 équations type , qui permettent, par moindres carrés de trouver et ; ce qui achève la détermination de l'orbite. Il faut évidemment au moins une date pour finir le problème du mouvement. Remarque : l'intuition de Gauss était que: Le théorème 2 de Gibbs permet de confirmer cette solution. Seul le cas de 3 points se succédant sur une demi-ellipse est traité ; si le décalage temporel dépasse la demi-période, il convient de prendre en compte la disposition des points.