Intégrabilité uniforme

En mathématiques, l'intégrabilité uniforme est une notion importante en théorie de la mesure et souvent utilisée dans l'étude des martingales. Cette notion possède deux définitions légèrement différentes en fonction du contexte : en théorie des probabilités, la définition est un peu plus forte qu'en théorie de la mesure. La définition suivante est une définition courante de l'intégrabilité uniforme utilisée en théorie de la mesure. Soit un espace mesuré et une famille de fonctions définies sur , à valeurs réelles et mesurables. On dit que est uniformément intégrable (abrégé en UI) si les deux conditions suivantes sont vérifiées. Pour tout , la fonction est intégrable. Pour tout , il existe tel que pour tout et pour tout vérifiant on a . On dit parfois d'une famille vérifiant le deuxième point ci-dessus qu'elle a des intégrales uniformément absolument continues. La définition suivante est une définition de l'intégrabilité uniforme peu utilisée en théorie de la mesure mais beaucoup utilisée en théorie des probabilités. La formulation présentée ici s'applique à des mesures quelconques qui ne sont pas forcément des mesures de probabilité. Soit un espace mesuré et une famille de fonctions définies sur , à valeurs réelles et mesurables. On dit que est (fortement) uniformément intégrable (abrégé en UI) si les deux conditions suivantes sont vérifiées. Il existe tel que pour tout , la fonction est intégrable et . Pour tout , il existe tel que pour tout et pour tout vérifiant on a . La différence avec la formulation faible concerne uniquement le premier point, le deuxième point étant identique. Dans la formulation faible il est seulement exigé que les fonctions soient toutes intégrables, alors que dans la forte, les fonctions doivent en plus avoir une intégrale uniformément bornée. La formulation forte est donc plus exigeante que la faible. La définition d'intégrabilité uniforme utilisée en théorie des probabilités est celle correspondant à la formulation forte ci-dessus. Nous la redonnons ici dans le cadre d'un espace probabilisé.