Fonction conjuguée

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, la fonction conjuguée est une fonction construite à partir d'une fonction réelle définie sur un espace vectoriel , qui est utile : pour convexifier une fonction (en prenant sa biconjuguée, c'est-à-dire la conjuguée de sa conjuguée) ; dans le calcul du sous-différentiel d'une fonction convexe ; dans la dualisation par perturbation des problèmes d'optimisation ; pour passer de la mécanique lagrangienne à la mécanique hamiltonienne ; en thermodynamique, etc. La fonction conjuguée de est le plus souvent notée . C'est une fonction convexe, même si ne l'est pas, définie sur les pentes, c'est-à-dire sur les éléments de l'espace vectoriel dual de . La définition est motivée et précisée ci-dessous. L'application est appelée transformation de Fenchel ou transformation de Legendre ou encore transformation de Legendre-Fenchel, d'après Adrien-Marie Legendre et Werner Fenchel. Connaissances supposées : l'algèbre linéaire, le calcul différentiel, les bases de l'analyse convexe (notamment les principales notions attachées aux ensembles et aux fonctions convexes) ; le sous-différentiel d'une fonction convexe n'est utilisé que pour motiver la définition de fonction conjuguée. La complexité apparente du concept de fonction conjuguée requiert d'en motiver la définition. Par définition, une fonction est convexe si son épigraphe est convexe. Convexifier une fonction consiste à déterminer la plus grande fonction convexe, disons fermée, minorant . En termes d'épigraphe, cela revient à trouver le plus petit convexe fermé contenant l'épigraphe de , c'est-à-dire à prendre l'enveloppe convexe fermée de l'épigraphe Comme toute enveloppe convexe fermée, celle de est l'intersection de tous les demi-espaces fermés contenant , c'est-à-dire d'ensembles de la forme où . Il est facile de voir que lorsque contient un épigraphe, on doit avoir . Il est plus fin de montrer que, dans l'expression de l'enveloppe convexe fermée de comme intersection des , on peut ne garder que les demi-espaces avec .