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Concept
Coefficient de Clebsch-Gordan
Résumé
En physique, les coefficients de Clebsch-Gordan sont des nombres qui apparaissent lors de l'étude des couplages de moment angulaire soumis aux lois de la mécanique quantique. Ils portent le nom des mathématiciens allemands Alfred Clebsch (1833-1872) et Paul Gordan (1837-1912), qui rencontrèrent un problème similaire en théorie des invariants.
En théorie des représentations, notamment des groupes de Lie compacts, ces coefficients sont utilisés pour effectuer la décomposition en somme directe du produit tensoriel de deux représentations irréductibles.
On peut définir les coefficients de Clebsch-Gordan associés au groupe SO(3) d'une manière plus directe, comme produit d'harmoniques sphériques. L'addition de spins en mécanique quantique se comprend par cette approche. Dans cet article, on utilisera la notation bra-ket de Dirac.
Les opérateurs de moment angulaire sont les opérateurs hermitiens et qui vérifient les relations suivantes :
avec le symbole de Levi-Civita. Ces trois termes peuvent être considérés comme les composantes d'un opérateur vectoriel . Le carré de la norme de est défini par :
On définit également les opérateurs et par :
On peut montrer que commute avec et :
avec k = 1,2,3.
Lorsque deux opérateurs hermitiens commutent, ils possèdent un ensemble commun de fonctions propres. Par convention, on choisit et . D'après les relations de commutation, on détermine les valeurs propres :
Les opérateurs et changent la valeur de :
avec
Un facteur de déphasage (complexe) peut être ajouté à la définition de . Les états de moment angulaire doivent être orthogonaux — car leurs valeurs propres sont distinctes — et sont supposés normalisés :
Les états de moment angulaire peuvent être développés en les supposant non-couplés :
Les coefficients qui apparaissent dans le développement, notés , sont les coefficients de Clebsch-Gordan.
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