Problème des partis
Le problème des partis est un problème mathématique portant sur les jeux de hasard. Il joue un rôle fondamental dans l'histoire de la mathématisation du hasard et l'émergence d'une théorie mathématique du probable et du calcul des probabilités à partir des travaux de Blaise Pascal et de Christian Huygens au milieu du . Le problème est d'apparence très simple. Le problème des partis a été exposé par Blaise Pascal en 1654 dans sa correspondance avec Pierre de Fermat. Le problème des partis, dans sa version la plus simple, est le suivant : La solution de Pascal, dans le cas le plus simple, c'est-à-dire celui où le jeu est interrompu lorsqu'un joueur a gagné 2 parties et l'autre 1 (situation notée 2/1), consiste à considérer que si le jeu avait continué il y aurait eu 2 situations possibles, 2/2 ou 3/1, selon que l'un ou l'autre des 2 joueurs ait gagné cette partie, et cela avec un « hasard égal ». Or à 2/2 il serait équitable que chacun récupère sa mise, , et à 3/1 le premier joueur serait vainqueur et recevrait la totalité des enjeux soit . Ainsi y a-t-il 2 cas aussi possibles l'un que l'autre, et le premier joueur pourrait obtenir aussi bien que ; il est donc assuré de gagner au moins . Quant à l'autre part des enjeux, , il pourrait aussi bien l'avoir que ne pas l'avoir et il est équitable qu'il en prenne la moitié, , son adversaire ayant donc droit à récupérer l'autre moitié. Dans la situation d'interruption du jeu à 2/1, le partage des enjeux doit donc se faire comme et . Toutes les autres situations peuvent être analysées de la même façon à partir de celle-là. Pascal a développé ces résultats dans le III « usage » de son Traité du triangle arithmétique : « Usage du Triangle Arithmétique pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties ». Par la suite, mis au courant des recherches de Pascal au cours d'un voyage à Paris en 1655, Christian Huygens publie en 1657 le premier ouvrage mathématique sur cette question, son Sur le calcul ès jeux de hasard, repris dans le livre de John Arbuthnot de 1692 et en première partie de l'Ars conjectandi de Jakob Bernoulli en 1713.
