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Concept
Algèbre de Kac-Moody
Résumé
En mathématiques, une algèbre de Kac-Moody est une algèbre de Lie, généralement de dimension infinie, pouvant être définie par des générateurs et des relations via une matrice de Cartan généralisée. Les algèbres de Kac-Moody tiennent leur nom de Victor Kac et de Robert Moody, qui les ont indépendamment découvertes. Ces algèbres sont une généralisation des algèbres semi-simples de Lie de dimension finie, et de nombreuses propriétés liées à la structure des algèbres de Lie, notamment son système de racines, ses représentations irréductibles, ses liens avec les variétés de drapeaux ont des équivalents dans le système de Kac-Moody. Une classe d'algèbres de Kac-Moody appelées est particulièrement importante en mathématiques et en physique théorique, et plus spécifiquement dans les théories conforme des champs et des systèmes complètement intégrables. Kac a trouvé une preuve élégante de certaines identités combinatoires, les , en se fondant sur la théorie des représentations des algèbres de Lie affines. Howard Garland et démontrèrent quant à eux que les identités de Rogers-Ramanujan pouvaient être prouvées de façon similaire.
Une algèbre de Kac-Moody est déterminée comme suit :
Une matrice de Cartan généralisée de taille , de rang r.
Un espace vectoriel sur de dimension 2n - r.
Un ensemble de n vecteurs libres de et un ensemble de n vecteurs libres de l'espace dual associé à , tel que , . Les sont appelés coracines, tandis que les sont appelés racines.
L'algèbre de Kac-Moody est l'algèbre de Lie définie par les vecteurs générateurs et et les éléments de ainsi que les relations :
Où est la représentation adjointe de .
Une algèbre de Lie (de dimension infinie ou non) sur le corps des réels est également considérée comme une algèbre de Kac-Moody si sa complexifiée est une algèbre de Kac-Moody.
Soit une de l'algèbre de Kac-Moody.
Si g est un élément de l'algèbre de Kac-Moody tel que , où est un élément de , alors on dit que g a un poids . L'algèbre de Kac-Moody peut être diagonalisée en vecteurs propres de poids.
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