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Concept
Théorème de Sturm
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Sturm, établi en 1829 par Charles Sturm, permet de calculer le nombre de racines réelles distinctes d'une fonction polynomiale comprises dans un intervalle donné. La méthode effective de calcul correspondante s'appelle lalgorithme de Sturm.
On se donne un polynôme P = x + a x + ... + a x + a. La suite de Sturm ou chaîne de Sturm à partir du polynôme P est une suite finie de polynômes P, P, ..., P. Elle est construite par récurrence :
P = P ;
P = P, où P' est la dérivée de P, c'est-à-dire le polynôme P = nx + ... + a ;
Pour i ≥ 2, P est l'opposée du reste de la division de P par P.
La construction s'arrête au dernier polynôme non nul.
Pour obtenir cette suite, on calcule les restes intermédiaires que l'on obtient en appliquant l'algorithme d'Euclide à P et sa dérivée P :
Si P possède uniquement des racines distinctes, le dernier terme est une constante non nulle. Si ce terme est nul, P admet des racines multiples, et on peut dans ce cas appliquer le théorème de Sturm en utilisant la suite T, T, ..., T, 1 que l'on obtient en divisant les P, P, ..., P par P.
Le nombre de racines réelles distinctes dans un intervalle [a , b] d'un polynôme à coefficients réels, dont a et b ne sont pas des racines, est égal au nombre de changements de signe de la suite de Sturm aux bornes de cet intervalle.
Plus formellement, notons σ(ξ) le nombre de changements de signe (zéro n'est pas compté comme un changement de signe) dans la suite
Le théorème de Sturm dit que pour deux nombres réels a, b, a < b, où a et b ne sont pas des racines de P, le nombre de racines dans l'intervalle [a , b] est :
Supposons que l'on souhaite connaître le nombre de racines dans un certain intervalle du polynôme p(x) = x + x – x –1. On commence par calculer les deux premiers termes.
En divisant p0 par p1 on obtient le reste –3/16x – 3/4x – 15/16, et en le multipliant par −1 on obtient p2(x) = 3/16x + 3/4x + 15/16. Ensuite, on divise p1 par p2 et en multipliant le reste par −1, on obtient p(x) = –32x –64.
Source officielle
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