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Concept
Variété de Stiefel
Résumé
En mathématiques, les différentes variétés de Stiefel sont les espaces obtenus en considérant comme des points l'ensemble des familles orthonormales de k vecteurs de l'espace euclidien de dimension n. Ils possèdent une structure naturelle de variété ce qui permet de donner leurs propriétés au plan de la topologie globale, de la géométrie ou des aspects algébriques.
Ce sont des exemples d'espace homogène sous l'action des groupes classiques de la géométrie. Leur étude est alors étroitement reliée à celle des grassmanniennes (ensemble des sous-espaces de dimension k d'un espace de dimension n). Les variétés de Stiefel fournissent également un cadre utile pour donner une interprétation géométrique globale d'un certain nombre d'algorithmes d'analyse numérique ou d'analyse de données.
Il en existe des variantes complexes, quaternioniques, et de dimension infinie. Ces dernières interviennent en topologie différentielle pour donner corps à la notion d'espace classifiant et définir les classes caractéristiques de façon systématique.
L'espace sous-jacent à la variété de Stiefel peut être décrit comme l'ensemble des familles orthonormales (ordonnées) de k vecteurs de l'espace euclidien , donc d'un sous-espace du produit de k copies de la sphère de dimension n. On peut préférer une description matricielle
On peut citer des particuliers simples :
si k=1, il s'agit de la sphère unité de l'espace euclidien,
si k=n la variété de Stiefel n'est autre que le groupe orthogonal d'indice n,
si k=n-1, comme une famille orthonormale de n-1 vecteurs n'admet qu'une complétion en base orthonormale directe, la variété de Stiefel est le groupe spécial orthogonal d'indice n.
De façon générale, la variété de Stiefel est une variété différentielle compacte quand on la munit de la topologie tirée de l'une ou l'autre de ces définitions. Les variétés correspondant à des valeurs de n successives sont incluses les unes dans les autres, ce qui permet de considérer leur réunion .
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