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Concept
Catégorie fermée
Résumé
En mathématiques, et plus spécifiquement en théorie des catégories, une catégorie fermée (ou close) est une catégorie d'un type particulier. Elles ont été introduites en 1965 par Samuel Eilenberg et Max Kelly, formalisant et clarifiant des efforts antérieurs de Mac Lane, Bénabou, Kelly et Linton.
En général, les morphismes d'une catégorie qui relient deux objets et forment seulement un ensemble, noté . Il peut donc s'agir d'un objet « extérieur » à la catégorie. Une catégorie est fermée lorsqu'il existe un foncteur « interne », c'est-à-dire qui peut lui-même être considéré comme un objet de la catégorie en question.
L'adjectif fermé apparaît ailleurs en théorie des catégories, notamment dans les catégories cartésiennes fermées, avec un sens a priori différent.
Une catégorie est dite fermée lorsqu'elle peut être dotée des éléments suivants :
Un foncteur Hom interne, c'est-à-dire un foncteur . Comme évoqué en introduction, ce foncteur joue le rôle du foncteur Hom classique.
Un objet unité et un isomorphisme naturel . On transporte ainsi les identités au sens du foncteur Hom classique vers les identités au sens du foncteur Hom interne.
On ajoute à cela trois prérequis supplémentaires :
Il existe une transformation qui est en .
Il existe une transformation qui est naturel en et extranaturelle en . Celle-ci correspond à une loi de composition. Lorsqu'une notion de produit interne est déjà disponible, par exemple dans une catégorie monoïdale, on peut s'appuyer sur ce produit plutôt qu'introduire la transformation .
Il y a une bijection donnée par .
La catégorie des ensembles est fermée ; en effet, les axiomes sont construits de sorte à suivre au plus près la situation de cette catégorie. Le foncteur Hom interne coïncide avec le foncteur Hom habituel, qui est un ensemble.
Plus généralement, tout topos est fermé, et en particulier une catégorie cartésienne fermée est fermée.
De nombreuses catégories fermées s'obtiennent en partant d'une catégorie monoïdale.
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