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Concept
What the Tortoise Said to Achilles
Résumé
What the Tortoise Said to Achilles est un court dialogue de Lewis Carroll, publié en 1895, qui met en jeu les fondements de la logique et plus particulièrement du modus ponens. Le titre fait référence à l'un des paradoxes de Zénon, selon lequel Achille ne pourrait jamais gagner une course face à une tortue. Dans le dialogue, la tortue met au défi Achille d'utiliser la force de la logique pour la convaincre d'un raisonnement déductif simple. Achille échoue, car il est entraîné dans une régression à l'infini.
"Madame Tortue" commence par énoncer ces trois propositions :
(A) « Deux choses égales à une même troisième sont égales entre elles » (transitivité de l'égalité) ;
(B) « Les deux côtés de ce triangle sont égaux à un même troisième » ;
(Z) « Les deux côtés de ce triangle sont égaux entre eux ».
Elle demande ensuite à Achille si la conclusion (Z) découle logiquement des hypothèses (A) et (B) et Achille assure que oui. La tortue lui demande s'il peut exister un lecteur d'Euclide qui prétende que l'argument est valide en tant que suite logique, tout en n'admettant pas la vérité des propositions A et B. Achille concède qu'un tel lecteur pourrait exister, même s'il le considérerait alors comme un mauvais logicien.
De la même façon, la Tortue demande si un second type de lecteur pourrait exister, qui accepterait pour vraies les deux propositions A et B sans reconnaître le lien logique entre les hypothèses A et B, et la conclusion Z. Achille reconnaît qu'un tel lecteur pourrait également exister. La Tortue lui demande alors de la traiter en lecteur de ce type et de lui montrer formellement la vérité de Z.
Après avoir écrit A, B et Z, Achille demande à la Tortue d'accepter la proposition (C) : « Si A et B sont vraies, alors Z est nécessairement vraie ». La Tortue veut bien reconnaître cette proposition comme vraie, à condition qu'Achille l'écrive. Une fois écrite, la Tortue accepte la proposition C mais refuse toujours la conclusion, ce à quoi Achille répond « Si tu acceptes A, B et C, tu dois accepter Z ».
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