Axiome de Martin
En théorie des ensembles, laxiome de Martin', introduit par Donald A. Martin et Robert M. Solovay en 1970, est un énoncé indépendant de ZFC, l'axiomatique usuelle de la théorie des ensembles. C'est une conséquence de l'hypothèse du continu, mais l'axiome de Martin est également cohérent avec la négation de celle-ci. Informellement, l'axiome de Martin affirme que tous les cardinaux strictement inférieurs à se comportent comme . C'est une généralisation du . Soit un cardinal. On appelle axiome de Martin pour , noté (de l'anglais Martin's Axiom), l'énoncé suivant : Pour tout ensemble partiellement ordonné satisfaisant la condition de chaîne dénombrable, et pour toute famille d'ensembles denses dans vérifiant , il existe un filtre sur tel que pour tout élément de , est non vide. L'axiome de Martin est alors l'énoncé suivant : Pour tout cardinal , est vérifié. On peut montrer que est faux, ce qui justifie la restriction . Si l'hypothèse du continu est vérifiée, les cardinaux strictement inférieurs à sont et les cardinaux finis, or est un théorème de ZFC : c'est le . Ainsi, l'axiome de Martin est une conséquence de l'hypothèse du continu dans ZFC. Ceci montre que l'axiome de Martin est cohérent avec ZFC. D'autre part, Donald A. Martin et Robert M. Solovay ont démontré la cohérence de l'axiome de Martin avec la négation de l'hypothèse du continu. Plus précisément : En partant de l'univers constructible de Gödel, la contrainte imposée sur dans le théorème précédent est vérifiée pour tous les cardinaux non dénombrables. On peut ainsi obtenir, par exemple, un univers vérifiant l'axiome de Martin et . La démonstration de ce théorème utilise la technique dite du forcing itéré. Finalement, la négation de l'axiome de Martin est également cohérente. En effet, l'axiome de Martin implique que est un cardinal régulier. Or la seule contrainte prouvable dans ZFC sur est que c'est un cardinal de cofinalité non dénombrable. Ainsi, il existe des univers dans lesquels n'est pas régulier, donc dans lesquels l'axiome de Martin n'est pas vérifié.