Chaîne de Pappus

vignette| Une chaîne de Pappus. Les centres sont sur une ellipse, les points de contact, sur un cercle. En géométrie, une chaîne de Pappus est un anneau de cercles situés entre deux cercles tangents intérieurement. Cette configuration a été étudiée par Pappus d'Alexandrie au 3ème siècle après JC. On se donne un arbelos, défini par deux cercles et tangents en un point , intérieur à . Notons , , les rayons de ces deux cercles, , , leurs centres respectifs, , leurs diamètres. La chaîne de Pappus se compose d'une infinité de cercles situés dans l'arbelos (région grise ombragée dans la figure), extérieurement tangents à et intérieurement tangents à ; ces cercles sont successivement tangents extérieurement, en partant du cercle de diamètre considéré comme le cercle d'indice 0. Le rayon, le diamètre et le centre du cercle d'indice n de la chaîne de Pappus supérieure sont notés respectivement , et . Les centres des cercles de la chaîne de Pappus sont situés sur une ellipse de grand axe , et de petit axe . En effet, la somme des distances du cercle d'indice n de la chaîne de Pappus aux deux centres et des cercles de l'arbelos est constante : Les foyers de cette ellipse sont donc et , centres des deux cercles de l'arbelos. vignette Notons la courbure du cercle d'indice de la chaîne. On a la relation de récurrence double , laquelle permet d'obtenir : où .Les cercles sont les deux cercles de Soddy associés aux trois cercles mutuellement tangents , donc d'après la formule de Soddy-Descartes, . Cette récurrence affine a pour solution générale , ce qui donne, avec les initialisations, . Une application de la relation de Descartes donne , d'où ou . Or , ce qui donne , soit . vignette|300x300px|Chaine de Pappus avec indication des courburesOn peut remarquer que si est entier et , toutes les courbures sont entières. Par exemple, pour , , voir la suite . Dans un repère orthonormé d'origine et de premier axe , le centre du cercle d'indice n de la chaîne a pour coordonnées : droite|vignette|250x250px| Sous une inversion particulière centrée en , les quatre cercles initiaux de la chaîne de Pappus se transforment en un empilement de quatre cercles de même taille, pris en sandwich entre deux droites parallèles.