Espace de Baire (théorie des ensembles)

En mathématiques, et plus précisément en topologie générale, l’espace de Baire est le nom donné — d'après René Baire — à l'ensemble de toutes les suites d'entiers, muni d'une certaine topologie. Cet espace est souvent utilisé en théorie descriptive des ensembles, au point que ses éléments sont souvent appelés des « réels ». On le note souvent B, NN, ωω, ou ωω. On appelle espace de Baire, noté NN, le produit cartésien d'un ensemble dénombrable de copies de l'ensemble N des entiers naturels, muni de la topologie produit, où chaque copie de N est munie de la topologie discrète. Par définition de la topologie produit, cela veut dire qu'une base d'ouverts de NN est formée d'ensembles de suites dont un nombre fini de termes sont fixés, les autres prenant toutes les valeurs possibles ; plus rigoureusement, un tel ouvert est de la forme : où les et les sont deux suites d'entiers fixées de longueur n, et les ouverts de NN sont les réunions de tels U. On peut également définir la topologie de l'espace de Baire à l'aide de la distance ultramétrique suivante : si u et v sont deux suites distinctes et n le plus petit entier tel que , on pose (et on pose ). Cette distance induit la topologie précédente, et fait de l'espace de Baire un espace complet. L'ensemble NN a le cardinal de la droite réelle. L'espace de Baire a les propriétés suivantes : C'est un espace polonais, c'est-à-dire complètement métrisable (comme le montre explicitement la distance définie ci-dessus) et séparable (les suites nulles à partir d'un certain rang forment une partie dénombrable dense) donc à base dénombrable. Par conséquent, c'est un espace de Baire au sens topologique du terme ; Il est parfait (c'est-à-dire sans point isolé) ; Comme tout espace ultramétrisable, il est de dimension nulle et totalement discontinu ; Il n'est pas localement compact ; C'est un espace polonais universel au sens où il existe une surjection continue de l'espace de Baire sur tout espace polonais non vide.

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