Équation de Klein-Gordon

L'équation de Klein-Gordon, parfois également appelée équation de Klein-Gordon-Fock, est une version relativiste de l'équation de Schrödinger décrivant des particules massives de spin nul, sans ou avec charge électrique, établie indépendamment en 1926 par les physiciens Oskar Klein et Walter Gordon. C'est un exemple d'équation aux dérivées partielles dispersive. L'équation de Klein-Gordon standard (sans champs électromagnétique) peut être obtenue de plusieurs façons. Une méthode consiste à écrire une formulation covariante de l'équation d'Euler-Lagrange, et une autre consiste à partir de l'invariant relativiste donnant l'énergie d'une particule isolée telle que : où E est l'énergie totale de la particule, p sa quantité de mouvement, m sa masse propre, et c la célérité de la lumière dans le vide. On applique alors à cette équation énergétique le principe de correspondance de la mécanique quantique : et . On obtient alors l'équation dite de Klein-Gordon en faisant agir la relation obtenue sur une fonction d'onde: Cette équation se réécrit sous la forme suivante : On peut également utiliser le formalisme relativiste (en unités naturelles soit = 1 et c = 1) : avec la convention : et Les solutions de l'équation de Klein-Gordon présentent de sérieuses difficultés d'interprétation dans le cadre de la mécanique quantique originelle, théorie censée décrire une seule particule. Si l'on cherche par exemple à construire une densité de probabilité de présence qui vérifie l'équation relativiste de continuité : on obtient inévitablement les grandeurs suivantes : où est le complexe conjugué de , et est une constante arbitraire. Or, cette densité n'est pas positive partout, donc ne peut représenter une densité de probabilité de présence. Le cadre pertinent pour interpréter cette équation quantique relativiste sans difficultés est la théorie quantique des champs Le fait que la densité ne soit pas positive partout provient du fait que cette densité contient une dérivée première par rapport au temps, comme l'a remarqué Dirac en 1928.