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Concept
Suite de Sheffer
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en analyse combinatoire, une suite de Sheffer, nommée d'après Isador M. Sheffer, est une suite de polynômes satisfaisant à des conditions permettant le calcul ombral.
Soit p une suite de polynômes (de variable x) telle que deg(pn) = n. On définit un opérateur linéaire Q par : Q p(x) = np(x) ; la famille des p étant une base, ceci définit Q pour tous les polynômes.
La suite p est une suite de Sheffer si Q est « invariant par translation », c'est-à-dire si f (x) = g(x + a) (pour tout x) entraîne (Qf)(x) = (Qg)(x + a), autrement dit si Q commute avec tous les opérateurs de translation (on dit qu'un tel Q est un ).
L'ensemble des suites de Sheffer est un groupe pour l'opération de composition ombrale, définie de la manière suivante : soit { pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } et { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } deux suites polynomiales, avec
Alors leur composé ombral est la suite polynomiale dont le n-ème terme est
L'élément neutre de ce groupe est la base canonique des monômes (où est le symbole de Kronecker).
Deux sous-groupes importants sont celui des suites d'Appell (contenant par exemple les polynômes d'Appell), pour lesquelles l'opérateur Q est la différentiation usuelle, et celui des suites de type binomial, qui sont celles vérifiant l'identité
Une suite de Sheffer { pn(x): n = 0, 1, 2, ... } est de type binomial si et seulement si
et
Le groupe des suites d'Appell est abélien, et c'est un sous-groupe normal ; le groupe des suites de type binomial n'est ni abélien, ni normal. Le groupe des suites de Sheffer est le produit semi-direct de ces deux sous-groupes ; il en résulte que chaque classe de suites de Sheffer suivant le groupe des suites d'Appell contient exactement une suite de type binomial.
Si sn(x) est une suite de Sheffer et pn(x) est la suite de type binomial dans la même classe, alors
En particulier, si { sn(x) } est une suite d'Appell,
Les suites des polynômes d'Hermite et des polynômes de Bernoulli sont des exemples de suites d'Appell.
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