Arithmétique vraie

En logique mathématique, l'arithmétique vraie est l'ensemble de toutes les propositions vraies sur l'arithmétique des entiers naturels (Boolos, Burgess et Jeffrey 2002: 295). C'est la théorie associée au modèle standard des axiomes de Peano dans la signature des axiomes de Peano du premier ordre. L'arithmétique vraie est parfois appelée arithmétique de Skolem, bien que ce terme se réfère habituellement à une théorie différente, la théorie des entiers naturels avec multiplication. La signature de l'arithmétique de Peano comprend les symboles de l'addition, de la multiplication et de la fonction successeur, les symboles de l'égalité et de la relation inférieure, et un symbole constant pour 0. Les formules bien-formées de la signature de l'arithmétique de premier ordre sont construites à partir de ces symboles de manière habituelle de la logique du premier ordre. La structure est défini comme un modèle d'arithmétique Peano comme suit. L'univers du discours est l'ensemble des entiers naturels. Le symbole 0 est interprété comme l'entier 0. Les symboles de fonction sont interprétés comme les opérations arithmétiques habituelles sur L'égalité et les symboles de relation inférieurs aux interprétations sont interprétés comme la relation habituelle d'égalité et d'ordre sur . Cette structure est connue comme le modèle standard ou l'interprétation prévue de l'arithmétique de premier ordre. Une proposition dans le langage arithmétique de premier ordre est vraie dans si elle vrai dans la structure juste définie. La notation signifie que la proposition φ est vraie dans L'arithmétique vraie est définie comme étant l'ensemble de toutes les propositions dans le langage de l'arithmétique de premier ordre qui sont vraies dans , noté Th(). Cet ensemble est, de manière équivalente, la théorie de la structure . Le résultat central sur l'arithmétique vraie est le théorème de non définissabilité d'Alfred Tarski (1936). Celui déclare que l'ensemble Th() n'est pas arithmétiquement définissable.