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Concept
Fonction de base radiale
Résumé
Une fonction de base radiale est une fonction à valeurs réelles dont la valeur ne dépend que de la distance séparant son paramètre d'entrée à un autre point donné, communément appelé origine ou centre de la fonction. Toute fonction qui vérifie l'égalité est une fonction de base radiale. La norme utilisée correspond à la distance euclidienne, d'autres métriques peuvent cependant être utilisées.
Au cours des dernières décennies, plusieurs méthodes d'approximation et d'interpolation basées sur les fonctions de base radiale ont trouvé leurs utilités dans un large éventail d'applications des sciences de l'ingénieur, allant de l'apprentissage automatique à la résolution numérique des équations différentielles aux dérivées partielles.
Une fonction est dite radiale s'il existe une fonction telle que: avec et une norme définie sur - généralement la norme euclidienne. De plus, une fonction radiale est toujours symétrique par rapport à son centre (ou origine), en d'autres termes, avec . Une fonction radiale centrée en un point s'écrit donc sous la forme .
vignette|250x250px|Gaussienne pour différents choix de
vignette|250x250px|Multiquadratique pour différents choix de
En posant et le paramètre de forme qui a une influence sur la forme que prend la courbe de la fonction, il existe plusieurs fonctions de base radiale connues à ce jour, les plus courantes sont :
Gaussienne :
Multiquadratique :
Multiquadratique inverse :
Quadratique inverse :
Spline polyharmonique :
Spline en plaque mince
Fonction à support compact
Cette famille de fonctions sont non nulles uniquement dans un rayon de 1/ϵ autour de l'origine
Fonction test :
Une petite valeur du paramètre fait que la fonction devienne plate. En revanche, une grande valeur du paramètre se traduit par une forme plus pointue de la courbe. De plus, ces fonctions sont de classe , donc indéfiniment différentiables et définies positives.
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