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Concept
Problème à N corps
Résumé
Le problème à N corps est un problème de mécanique céleste consistant à déterminer les trajectoires d'un ensemble de N corps s'attirant mutuellement ; plus précisément, il s'agit de résoudre les équations du mouvement de Newton pour N corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi que leurs positions et vitesses initiales. Le cas (problème à deux corps) a été résolu par Newton, mais dès (problème à trois corps) apparaissent des solutions essentiellement impossibles à expliciter, car sensibles aux conditions initiales.
Il s'agit d'un problème mathématique fondamental pour l'astronomie classique, c’est-à-dire dans le cas où les effets de la relativité générale peuvent être négligés : vitesses des corps petites devant la vitesse de la lumière dans le vide, et champs de gravitation faibles, ce qui est essentiellement le cas dans le Système solaire.
Par extension cette appellation a été conservée dans le cas où l'on s'intéresse à un ensemble de particules liées par un potentiel quelconque ; le problème à N corps se pose également dans le cadre de la relativité générale, mais son étude y est encore plus difficile que dans le cadre newtonien.
Le problème à N corps est modélisé par une équation différentielle. Étant donné les valeurs initiales des positions q j(0) et des vitesses des N particules (j = 1, 2, ..., N) avec q j(0) ≠ q k(0) pour tout j et k distincts, il s'agit de trouver une solution du système du second ordre
où G est la constante gravitationnelle, m1, m2, ..., mN sont des constantes représentant les masses des N particules, et q1, q2, ..., qN sont leurs vecteurs position (à trois dimensions) dépendant du temps t.
Cette équation est simplement la seconde loi du mouvement de Newton ; le terme de gauche est le produit de la masse de la particule et de son accélération, tandis que le terme de droite est la somme des forces gravitationnelles qui s'exercent sur la particule. Ces forces sont proportionnelles aux masses concernées et varient proportionnellement à l'inverse du carré de la distance de ces masses.
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