Lemme fondamental du calcul des variations

Le lemme fondamental du calcul des variations est un lemme essentiel au calcul des variations. Friedrich Ludwig Stegmann l'a énoncé en 1854 et justifié par un argument très succinct et incorrect ; auparavant, Joseph-Louis Lagrange l'avait tenu pour allant de soi et ses successeurs jusqu'à Stegmann auraient fait de même. Des démonstrations correctes ont été obtenues par Eduard Heine en 1870 et Paul David Gustave du Bois-Reymond en 1879. Des généralisations très importantes de ce lemme ont été réalisées : par Du Bois-Reymond, en 1879 également (lemme de Du Bois-Reymond) ; et par Alfréd Haar, entre 1926 et 1929 (lemme de Haar). Ces différents lemmes et leurs applications sont présentés dans ce qui suit. Rappelons qu'une fonction définie sur un ouvert U est dite de classe C si elle est k-fois continument dérivable. Par exemple la classe C est constituée des fonctions continues, et la classe C est constituée des fonctions indéfiniment dérivables. Les fonctions C à support compact dans U sont appelées les fonctions test sur U. Le lemme fondamental du calcul des variations, dans sa version usuelle, s'exprime comme suit : Sous sa forme donnée ici, le lemme fondamental du calcul des variations permet d'obtenir l'équation d'Ostrogradski du calcul des variations (généralisation de l'équation d'Euler-Lagrange). Le résultat de ce lemme reste vrai pour f seulement localement intégrable, à valeurs dans un espace vectoriel réel de dimension finie : la conclusion est changée en « f est nulle presque partout ». Ce point est fondamental en théorie de la mesure. Il montre en effet que si désigne la mesure de Radon définie par une fonction localement intégrable f, l'égalité équivaut à presque partout. Par passage au quotient, si désigne la classe de Lebesgue de f, l'application linéaire (qui est bien définie) est injective, et l'on peut donc plonger (l'espace des classes de Lebesgue de fonctions localement intégrables sur U) dans l'espace des mesures de Radon sur U (et a fortiori dans l'espace des distributions sur U).