Paire de matrices commutantes

En mathématiques, une paire de matrices commutantes est une paire {A, B} de matrices carrées à coefficients dans un corps qui commutent, c'est-à-dire que AB = BA. L'étude des paires de matrices commutantes a des aspects tout à fait élémentaires et d'autres qui font l'objet de recherches en cours. L'énoncé de certains problèmes étudiés est assez élémentaire pour être présenté au niveau de la première année d'études supérieures. En voici un exemple : Une matrice nilpotente est une matrice dont une puissance est nulle. On sait qu'une telle matrice est semblable à sa réduite de Jordan. Supposons la matrice nilpotente, sous forme réduite de Jordan, avec des blocs de taille donnée. Quelle peut être la taille des blocs de Jordan des matrices nilpotentes qui commutent avec la matrice donnée ? Bien sûr, la solution, elle, n'est pas élémentaire. L'ensemble des matrices commutant avec une matrice (l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K) est une sous-algèbre de , appelée commutant de A et notée C(A) ; C(A) contient en particulier tous les polynômes , ainsi que A si A est inversible. Si et sont semblables, c'est-à-dire que , alors , avec . Si B commute à A alors B laisse stable le noyau et l'image de tout polynôme en A, en particulier les sous-espaces propres de A. Si, inversement, B laisse stable chaque sous-espace propre de A alors sur chacun d'eux, la restriction de A est une homothétie donc commute à celle de B, donc AB – BA, étant nul sur chaque sous-espace, est nul sur leur somme. Si cette somme est l'espace tout entier, on a donc caractérisé les matrices qui commutent à A : Plus concrètement : si A = PDP pour une certaine matrice inversible P et une matrice diagonale D de la forme (où les d sont deux à deux distincts et où I désigne la matrice identité de taille n) alors, une matrice commute à A si et seulement si elle est de la forme PCP, avec C diagonale par blocs : (où, pour chaque k, le bloc C est de taille n).