Règle des signes de Descartes

vignette|Exemple de polynôme f(x) du cinquième degré présentant deux changements de signe, et bien deux racines positives.Le polynôme f(-x) présente trois changements de signes, et f(x) possède trois racines négatives.|300x300px En mathématiques, la règle des signes de Descartes, décrite par René Descartes dans son livre La Géométrie, est une technique qui donne des informations partielles sur le nombre de racines réelles positives ou négatives d'un polynôme. La règle est appliquée en comptant le nombre de changements de signe dans la suite formée par les coefficients du polynôme. Si un coefficient est égal à zéro, ce terme est tout simplement omis de la suite. La règle stipule que si les coefficients d'un polynôme à une variable à coefficients réels sont ordonnés par ordre décroissant (ou croissant) des degrés, le nombre de racines strictement positives comptées avec leur multiplicité du polynôme est le nombre de changements de signe entre deux coefficients consécutifs non nuls, éventuellement diminué d'un nombre pair. Comme corollaire de la règle, le nombre de racines strictement négatives est le nombre de changements de signe après multiplication des coefficients des termes de puissance impaire par -1, ou diminué par un nombre pair. Cette procédure équivaut à substituer l'opposé de la variable à la variable elle-même. Par exemple, pour trouver le nombre de racines négatives de nous demandons de manière équivalente combien de racines positives il y a pour dans La règle des signes de Descartes pour donne le nombre de racines positives de , et comme cela donne le nombre de racines négatives de f. Le polynôme a un changement de signe entre les deuxième et troisième termes (la suite des paires successives de signes est + +, + −, − −). Par conséquent, il a exactement une racine positive. Notez que le signe principal doit être pris en compte bien que, dans cet exemple particulier, il n'a pas d'incidence sur la réponse.