Anneau d'ensembles

Un anneau d'ensembles, ou clan, est une classe non vide de parties d'un ensemble X vérifiant deux propriétés de stabilité. Le concept, très voisin de celui d'algèbre d'ensembles, est utilisé en théorie de la mesure pour initialiser les constructions de mesures classiques qu'on étendra ensuite à la tribu engendrée par l'anneau. Vus comme parties de l'anneau de Boole de toutes les parties de X (considéré comme un pseudo-anneau), ils en sont les sous-anneaux (non nécessairement unitaires). Une minorité de sources exigent également que ne soit pas vide ; cette hypothèse supplémentaire n'est nulle part utilisée dans le présent article. Soit un anneau d'ensembles. Alors : l'ensemble vide appartient à (l'écrire pour un élément de l'ensemble non vide ) ; est stable par différence symétrique (on peut en effet écrire ) ; est stable par intersection (on peut en effet écrire ) ; Toute algèbre d'ensembles est un anneau d'ensembles (on peut en effet écrire , où l'on note le complémentaire d'une partie ). Il existe en revanche des anneaux d'ensembles qui ne sont pas des algèbres d'ensembles, l'exemple le plus simple étant celui de . Un anneau d'ensembles sur est une algèbre d'ensembles si et seulement si appartient à l'anneau. Dans la généralisation de la construction de la mesure de Lebesgue que synthétise le théorème d'extension de Carathéodory, une mesure est construite sur une σ-algèbre par un procédé d'extension relativement sophistiqué, mais dont la première étape est assez simple : on construit d'abord les valeurs de la mesure sur les éléments d'un anneau d'ensembles . La construction peut avoir été initiée sur un semi-anneau d'ensembles qui engendre lui-même (comme anneau d'ensembles). Dans l'exemple de la mesure de Lebesgue sur la droite réelle, le semi-anneau qui initie la construction peut être l'ensemble des intervalles bornés de , et l'anneau est alors l'ensemble des réunions finies d'intervalles bornés.