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Concept
Théorème de Poincaré-Bendixson
Résumé
En mathématiques, le théorème de Poincaré-Bendixson est un résultat qualitatif sur les équations différentielles. Il concerne les équations du type (1) : x' = f(x) où f est une fonction continument dérivable, du plan réel dans lui-même et définie sur un ouvert Ω. Le théorème indique que si une solution maximale reste bornée, alors soit elle converge, soit son comportement asymptotique est celui d'une fonction périodique. Autrement dit, le plan est trop étroit pour admettre comme solutions d'équations de type (1), des trajectoires chaotiques.
Ce théorème est utilisé pour l'étude des systèmes dynamiques. Il assure que toute une classe d'équations, comme celle de Lotka-Volterra n'admet que des solutions simples (c'est-à-dire non chaotiques). En dimension 2, le chaos existe, mais pour l'obtenir il est plus simple de considérer une équation aux différences finies comme celle associée à la suite logistique. Ce résultat ne se généralise pas à la dimension trois, comme le montre le système dynamique de Lorenz. Ce résultat est aussi utile en topologie algébrique, il permet d'établir le théorème de la boule chevelue.
Ce théorème est énoncé par Henri Poincaré ; la preuve est finalement complétée par Ivar Bendixson en 1901.
Dans le reste de l'article, Ω désigne un ouvert de R2 et f un champ vectoriel défini sur Ω, à valeurs dans R2 et continument différentiable. L'équation différentielle autonome nommée (1) est la suivante :
La fonction s(t) est définie sur R et est une solution maximale de l'équation (1). Ici, le terme maximal signifie que la fonction s est définie sur un intervalle I et qu'il n'existe aucune fonction définie sur un intervalle J, confondue avec s sur I, telle que J contienne strictement I et qui soit solution de l'équation (1).
thumb|Exemple de solution convergente de l'équation (1).
L'équation étudiée possède plusieurs spécificités. Tout d'abord elle est à valeurs dans un plan, elle correspond à un système de deux équations différentielles d'ordre un. Ensuite, à chaque point de la trajectoire d'une solution x(t), l'équation donne la dérivée x(t).
Source officielle
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