Hauteur (groupe abélien)

En mathématiques, la hauteur d'un élément g d'un groupe abélien A est un invariant qui capture ses propriétés de divisibilité : c'est le plus grand nombre naturel N tel que l'équation Nx = g a une solution x ∈ A, ou le symbole ∞ si le plus grand nombre avec cette propriété n'existe pas. La p-hauteur considère uniquement les propriétés de divisibilité par les puissances d'un nombre premier p fixé. La notion de hauteur admet un raffinement de sorte que la p-hauteur devienne un nombre ordinal. La hauteur joue un rôle important dans les théorèmes de Prüfer et aussi dans le théorème d'Ulm, qui décrit la classification de certains groupes abéliens infinis en fonction de leur facteurs d'Ulm ou d'invariants d'Ulm. Soit A un groupe abélien et g un élément de A. La p-hauteur de g dans A, notée hp(g), est le plus grand nombre naturel n tel que l'équation pnx = g a une solution x ∈ A, ou le symbole ∞ si une solution existe pour tout n. Ainsi, hp(g) = n si et seulement si g ∈ pnAet g ∉ pn+1A. Cela permet d'affiner la notion de hauteur. Pour tout ordinal α, il y a un sous-groupe pαA de A qui est l'image de la multiplication par p itérée α fois, définie à l'aide de récurrence transfinie : p0A = A; pα+1A= p(pαA); pβA=∩α < β pαA si β est un ordinal limite. Les sous-groupes pαA forment une filtration décroissante du groupe A, et leur intersection est le sous-groupe des éléments p-divisibles de A, dont les éléments sont affectés de la hauteur ∞. La p-hauteur modifiée hp∗(g) = α si g ∈ pαA,mais g ∉ pα+1A. La construction de pαA est fonctorielle dans A; en particulier, les sous-quotients de la filtration sont des invariants des isomorphismes de A. Soit p un nombre premier. Le (premier) sous-groupe d'Ulm d'un groupe abélien A, notée U(A) ou A1, pωA = ∩n pnA, où ω est le plus petit ordinal infini. Il se compose de tous les éléments d'A de hauteur infinie. La famille {Uσ(A)} de sous-groupes d'Ulm indexés par des ordinaux σ est définie par récurrence transfinie : U0(A) = A; Uσ+1(A) = U(Uσ(A)); Uτ(A) = ∩σ < τ Uσ(A) si τ est un ordinal limite.