Conjecture de Sumner

En théorie des graphes, la conjecture de Sumner (également appelée conjecture universelle du tournoi de Sumner), nommée ainsi d'après David Sumner, affirme que les tournois sont des graphes universels pour les polyarbres. Plus précisément tout tournoi avec sommets contient tout polyarbre avec sommets comme sous-graphe. Cette conjecture, même si elle est encore ouverte dans le cas général, a été démontré pour toutes les valeurs suffisamment grandes de par Daniela Kühn, Richard Mycroft et Deryk Osthus. La formulation de cette conjecture en 1971 est attribuée à David Sumner, un théoricien des graphes à l'université de Caroline du Sud. La conjecture a été prouvée pour les valeurs assez grandes de par Daniela Kühn, Richard Mycroft et Deryk Osthus,. La conjecture de Sumner, si elle est prouvée, donne la plus petite taille possible d'un graphe universel, à savoir 2n-2, pour les polyarbres de taille n. Pour le voir, considérons le graphe étoile à sommets, dans lequel tous les arcs sont orientés depuis le sommet central vers les feuilles. Alors, ne peut pas être plongé comme sous-graphe dans le tournoi formé à partir des sommets d'un polygone à sommets dont les arêtes sont orientées dans le sens des aiguilles d'une montre autour du polygone. En effet, dans un tel tournoi, tout sommet a un degré entrant et un degré sortant égal à , tandis que le sommet central de a un degré supérieur à . Cependant, dans un tournoi à sommets, le degré sortant moyen est , et le degré sortant maximal est un nombre entier supérieur ou égal à la moyenne. Il existe donc un sommet de degré sortant , qui peut être utilisé comme sommet central pour une copie de . Les résultats suivants sur la conjecture ont été prouvés. Il existe une fonction avec taux de croissance asymptotique avec la propriété que tout polyarbre à sommets peut être plongé comme sous-graphe dans tout tournoi à sommets. De plus, on a la majoration . Il existe une fonction telle que les tournois sur les sommets sont universels pour les polyarbres à feuilles.