Théorème des trois droites de Hadamard

En analyse complexe, le théorème des trois droites de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur un domaine du plan complexe délimité par deux droites parallèles. Soit f une fonction holomorphe bornée sur l'ouvert continue sur . On pose : . Alors ln M est une fonction convexe sur [a, b], c'est-à-dire : en posant : , on a : et de même en remplaçant [a, b] par un sous-intervalle. Soit quelconque. On pose : . Cette fonction est bien définie et holomorphe sur . Pour tout , car . Donc . Par le principe du maximum, si F n'est pas constante, alors |F| n'admet pas de maximum local sur B. Puisque quand , cela implique que pour tout . En faisant tendre vers 0, il en résulte que : . Or : . De même, . Donc : , ce qui est équivalent au résultat.