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Concept
Alternative de Fredholm
Résumé
En analyse fonctionnelle — une branche des mathématiques —, l’alternative de Fredholm, qui généralise l'un des théorèmes d'Ivar Fredholm — systématisés par Friedrich Riesz —, est un résultat de la donc de la . Motivée par l'étude de certaines équations intégrales, elle a fait émerger la notion d'opérateur de Fredholm. Elle énonce entre autres que tout scalaire non nul du spectre d'un opérateur compact est une valeur propre de cet opérateur.
L'alternative de Fredholm est la suivante :
Autrement dit : T – λId est injectif si et seulement s'il est surjectif.
Plus précisément :
est un opérateur de Fredholm d'indice 0, c'est-à-dire que la codimension de son et la dimension de son sont égales et finies ;
dans le cas où T – λId est bijectif, sa bijection réciproque est continue.
Remarques
Puisque T/λ est encore compact, il revient au même d'énoncer le théorème seulement pour λ = 1.
Le cas particulier où T est un endomorphisme de rang fini est un simple corollaire du théorème du rang, selon lequel codim(T) = rang(T) (sur un corps quelconque).
L'hypothèse supplémentaire « E complet » est classique mais superflue.
L'image im(T – Id) est fermée et son orthogonal dans E est ker(T – Id). Si E est un espace de Hilbert, les sous-espaces im(T – Id) et ker(T* – Id) sont supplémentaires orthogonaux l'un de l'autre.
Notons Φ := T – Id.
Lemme 1
Lemme 2
Le sous-espace im(Φ) est fermé.
Lemme 3
Il existe un entier naturel m tel que im(Φ) = im(Φ) et ker(Φ) = ker(Φ).
Lemme 4
Pour un entier m comme dans le lemme 3, les sous-espaces im(Φ) et ker(Φ) sont supplémentaires.
Preuve du théorème
Conséquence immédiate du lemme 4.
Compléments
Le lemme 1 montre que dans le cas où Φ est bijectif, Φ est continu.
Le lemme 4 permet, pour prouver que codim(imΦ) et dim(kerΦ) sont égales et finies, de remplacer Φ par sa restriction à ker(Φ). La conclusion résulte alors du fait que le noyau de Φ est de dimension finie (car Φ est, comme Φ, égal à ±Id à un compact près).
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